Makalah

 

BEBERAPA PEMIKIRAN PADA PENULISAN UNTUK PUTNAM

APA ITU PUTNAM ?

Bab ini menjelaskan proses penyusunan soal-soal pada kompetisi Matematika William Lowell Putnam dan issu umum mengenai penulisan soal  Matematika. Berikut adalah kutipan dari brosur resmi (Putnam 1992) Kompetisi Matematika William Lowel Putnam  yang Lowell Putnam william kompetisi matematika. "dimulai pada tahun 1939 dan dirancang untuk merangsang persaingan sehat dalam belajar matematika di perguruan tinggi dan universitas di Amerika Serikat dan Canada. Hal ini ada karena William Lowell Putnam berkeyakinan dalam penilaian kompetisi kelompok oleh perkumpulan ahli matematika di Amerika yang ditawarkan secara tahunan (sejak 1962 hari sabtu pertama di bulan Desember) kepada siswa yang belum menerima gelar akademik. Di tahun 1991, 2.375 pelajar di 383 Akademik dan Universitas. ( Untuk lebih jelasnya lagi mengenai sejarah Putnam lihat ( Alexanderson, Klosinski & Larson, 1985; Gleason, Greenwood & Kelley, 1980). Masukan dan penyelesaian bagi kompetisi-kompetisi berlangsung di tahun 1984 ada di ALexanderson (1985) dan Gleason (1980). Masalah penyelesaian dan nama-nama pemenang diterbitkan di jurnal matematika Amerika bulanan biasanya 1 tahun setelah ujian.

Putnam terdiri dari 2 kelompok bebas 3 jam setiap sesi , masing-masing terdiri dari 6 soal yang disusun dari yang paling mudah ke yang sulit. Peserta bekerja sendiri dan tanpa buku catatan, buku pegangan, kalkulator dan sumber-sumber lain. Mereka disusun berdasarkan nilai kecuali peringkat 5 teratas dilaporkan dalam blok. Kelompok dipilih oleh pembimbingnya dan ranking perkelompok ditentukan oleh jumlah ranking bukan jumlah skor.

Ujian akan disusun berdasarkan keaslian dan tingkat kompetisinya. Hal ini diharapkan agar peserta kenal dengan teori formal dalam sarjana Matematika. Antara tahun 1969-1985 saya berpartisipasi di semua kegiatan kecuali 3 kegiatan Putnam. Saya bertanding 4 kali, 2 kali yang terakhir mengenakan sutera dan kelompok Catex sebagai juara I sebagai alumni anggota fakultas saya membimbing di Stanford, Duke, Berkeley dan Urbana. Saya juara di 1982 dan menjadi anggota subkomite problem tahun 1983, 1984 dan 1985 (saya telah tinggal di peristirahatan Putnam) saat Alan mengundang saya ke konferensi ini ).

 

SIAPA YANG MENULIS PUTNAM ?

Penulis soal Putnam adalah subkomite soal dari Komite Putnam MAA terdiri dari tiga penulis soal, yang melayani dalam jangka waktu 3 tahun. Anggota sub komite yang paling senior, tiga anggota komite penuh bersifat tetap. Selama pelayanan saya di subkomite soal terdiri dari blok-blok yang berturut-turut dari tiga orang berturut-turut dari daftar berikut: Doug Hensley, Mel Hochster, diriku Richard Stanley dan Harold Stark. Meletakkan anggota dari luar diundang untuk mengusulkan penggantian yang memungkinkin, tetapi tidak dilakukan segera.. (Hal ini berlangsung tahun 1985 kelompok secara tidak sengaja terdiri dari tiga alumni Caltech, dan sebagai ketua saya merasa lega ketika tim Harvard menang).

Sisanya komite Putnam terdiri dari tiga anggota tetap dua di antaranya (Alexanderson Jerry dan Klosinski Leonard) disusun logistik besar-besaran dari kompetisi dan penghubung dengan subkomite soal (Hillman abe kemudian Larson Loren).

BAGAIMANA PENULISAN PUTNAM DI TAHUN 1985 ?

Berikut ini adalah gambaran tentang bagaimana Putnam 1985 ditulis. Pada bulan November 1984, saya menulis surat balasan instruksional Richard dan Harold yang menggambarkan jadwal dan tujuan kompetisi. Pada awal Desember,kita mendapat masalah. Setelah selang waktu tertentu, kami akhirnya mendapatkan solusi untuk  persoalan yang kita hadapi dan tambahan lainnya.

Terjadi lagi saling surat menyurat akhirnya dalam Maret kami bertemu untuk akhir pekan dengan seluruh komite untuk membuat kompetisi. Setelah masalah kecil tentang surat menyurat bahan tambahan tersebut akhirnya  diserahkan kepada tim pembuat soal

APA ARTI PUTNAM ?

Putnam memberikan aspek positif bagi sekolah sekolah di Amerika dan Kanada. Beberapa sekolah telah menyatakan sesi latihan bagi peserta dengan menyajikan matematika secara menarik dan menggunakan teknik pemecahan soal yang diberikan. Peserta yang berhasil di Putnam menyebabkan dirinya tenaran dan mulia, dengan berpeluang peningkatan prestasi dari sekolah asalnya. (Namun, hasilnya diumumkan di bulan Maret, sangat terlambat untuk senior lulus mendaftar sekolah ). Soal-soal. Putnam kadang-kadang menjadi bahan utama penelitian dan soal Putnam mungkin menempel dalam pikiran kontestan selama bertahun-tahun. Sumber utama Reznick (1986) 1971 A-1

            Satu motivasi untuk saya bergabung dengan subkomite soal adalah tantangan estetika penyajian kepada masyarakat matematika satu masalah yang layak. Kenyataannya, kesempatan untuk mempertahankan " kualitas nama baik " lebih menarik bagi saya daripada melanjutan kompetisi sarjana. Tentu saja, penonton utama Putnam harus selalu siswa,  bukan rekan dari seseorang.

Pada saat yang sama, Putnam menyebabkan beberapa pengaruh negatif, terutama karena kesulitannya. Kontes Matematika seharusnya keras, dan Putnam adalah salah satu yang paling sulit dari semua.  Pada tahun 1972, saya mencetak kurang dari 50% dan selesai pada urutan ketujuh. Sukses di kompetisi matematika membutuhkan kemampuan dan pengalaman pemecahan soal, Seorang peserta harus dapat bekerja dengan cepat, independen, dan tanpa referensi dan bersedia untuk mempertimbangkan masalah di luar konteks. Saya telah sedih oleh laporan siswa yang putus asa dalam karir akademik mereka tampil buruk di Putnam tersebut. Untungnya bagi komunitas matematika, ada matematikawan yang sangat baik, berpengaruh, dan sukses banyak yang juga tidak buruk di Putnam. Sebagai hasilnya, tidak adanya pujian Putnam memiliki efek yang dapat diabaikan pada karier seseorang. (Pada saat yang sama, aku mengaku menikmati defensif bahwa istilah "Putnam" membangkitkan dalam beberapa rekan dinyatakan arogan. Mereka menyangkal bahwa pentingnya sebuah kompetisi yang menegaskan tidak ada orang lain).

            Di antara mereka menyelesaikan soal Putnam dengan baik, ini sedikit bukti keras yang melakukan sangat baik adalah signifikan. Koran-koran terbaik biasanya rata-rata sekitar dua kali solusi yang tepat sebanyak tiga puluh.  Kesan saya adalah bahwa kemungkinan keluaran matematika masa depan dari penulis sebanding. Singkatnya, Putnam memainkan peran yang berharga, tapi akhirnya tidak penting di bawah sarjana matematika. Ini adalah sebuah tes ;?  ini hanya sebuah tes

HAL APA YANG MEMBUAT SOAL PUTNAM BAGUS ?

Pertimbangan lainnya selain soal estetika murni menimpa para penulis Putnam. Kami ingin memiliki keseimbangan pertanyaan dalam berbagai bidang subjek. Kita perlu pertanyaan yang mudah untuk A-1 dan guru perguruan tinggi B-1. Hal ini diperbesar pada Putnam di mana kontestan berasal dari ratusan program yang berbeda. Komite ini mencoba menjadi masuk akal. Ini tidak masuk akal untuk memiliki jejak matriks di salah satu masalah lebih mudah, tapi kami menggunakannya pada tahun 1985 B-6, dengan alasan bahwa kontestan yang tidak mendengar jejak mungkin tidak akan mampu mengerjakan soal tetap.

BAGAIMANA SOAL PUTNAM DIPERBAIKI ?

Komite bertindak dengan consensus. Sebagian besar, setiap bagian soal-soal memiliki satu penulis utama, meskipun secara kelompok lengkap mereka memperbaiki soal   untuk final. Seringkali, meskipun, versi ini merupakan masalah khusus dari soal yang asli. Kami mencoba untuk memiliki minimal satu soal dari pokok bahasan kalkulus, geometri dan teori bilangan pada ujian. Aku selalu kagum pada kemampuan komite karena mampu menemukan soal baru di bidangnya yang digali secara mendalam

                        Ini sulit untuk menulis soal aljabar dengan baik jika tidak memiliki dasar manipulatif, lebih baik dari konseptual, karena kita dapat menganggap bahwa pengetahuan itu sangat sedikit. Dalam analisis, beberapa integral haruslah teori ukuran yang tidak bermasalah.

Kami tidak menerima soal sampai kita telah menemukan solusi soal tersebut ditulis secara lengkap: kadang-kadang kami menghasilkan lebih dari satu solusi. Hal ini tidak biasa bagi peserta untuk mencari solusi yang baru dan terbaik. Satu soal (1983 B-2) berasal dari kenyataan yang luar biasa, akrab dengan teman-teman silikon kami, bahwa bahwa bilangan bulat tidak negative n memiliki representasi biner yang unik. Misalkan  menunjukkan banyaknya cara n dapat ditulis dalam bentuk jika  boleh untuk mengambil nilai-nilai 0,1,2 atau 3 (Diketahui bahwa di sini, x merupakan integer terbesar £  x. Masalah ini memiliki setidaknya tiga solusi berbeda: dengan membuat  dengan induksi recurrence  atau manipulasi langsung, ditulis  dimana  dan  adalah 0 atau 1, ini memberikan bijection ke jumlah  dimana  dan .fungsi  dengan menggunakan induksi recurrrence atau dengan manipulasi langsung menulis

Lain waktu, Mel Hochster telah bermain dengan masalah dengan menggunakan ujung tangan jam yang akurat (seperti yang kita akhirnya diutarakan-kita menerima keluhan dari siswa yang hanya akrab dengan jam digital ini bagus "trapdoor" situasi.. Seorang siswa cukup kompeten bisa parameterisasi posisi tips, dan setelah setengah jam perhitungan, memecahkan pertanyaan Pemahaman dimaksudkan adalah untuk membuat satu set yang berputar koodinat di mana tangan menit adalah tetap, jadi hanya jam tangan. berputar Kami. punya masalah, kalau saja kita bisa menemukan pertanyaan yang tepat itu terjadi. bagi saya untuk melihat jarak antara tips jika jarak yang paling cepat berubah. Pemecahan dengan cara yang lama, saya uninspiredly dihitung jawaban yang berteriak keluar. Anda idiot menggunakan teorema Pythagoras "Bahkan, turunan dari vektor perbedaan dari satu ujung yang lain memiliki besar konstan dan normal terhadap vektor jam, dan jaraknya paling cepat berubah ketika vektor perbedaan dan derivatif perusahaan paralel (lihat 1983-A 2). Masa kerja sebagai penulis Putnam tampaknya optimal. Pada tahun pertama saya, saya penuh dengan masalah yang saya hadapi disimpan untuk Putnam dan menemukan bahwa ada beberapa yang tidak cocok. Pada tahun kedua, saya mencoba ulang sisa makanan dan mengembangkan beberapa teknik untuk sadar menulis masalah lain (ini akan dibahas di bawah). (A beberapa Putnam rejects telah muncul di bagian masalah Bulanan, di mana kurangnya keterbatasan waktu meredakan keprihatinan atas aljabar berantakan atau mengelak). Pada tahun ketiga, aku merasa kehabisan inspirasi: pada kenyataannya, kesan saya semua tiga tahun adalah bahwa kursi paling sedikit menempatkan masalah pada ujian.

BAGAIMANA KAMU DUDUK DAN MEMBUAT SOAL PUTNAM ?

Bagaimana kamu membuat soal Putnam ? Sangat sedikit penulis dapat membuat lelucon besar hanya mengandalkan inspirasi belaka. Mereka membutuhkan bantuan dari beberapa proses mekanis. (Punks Putnam seperti saya sering lazim membuat sindiran. Sindiran memerlukan manipulasi kombinatorial secara cepat dan formal rangkaian simbol, tanpa harus memperhatikan lebih jauh kontennya. Keterampilan ini juga sangat membantu di Putnam. Hubungan yang lebih serius antara humor dan kreativitas dibahas dalam Koestler1964).

Meskipun masalah ini diselesaikan dengan kontestan lebih sedikit dari yang kita harapkan, mungkin beberapa kontestan kemudian menyadari bahwa pergantian genap dan ganjil pada dasarnya tidak relevan dengan masalah, dan bahwa setiap pola paritas (mod 2) dapat dicapai dengan menggunakan bukti yang sama, serta setiap pola (mod m). di kemudian hari, Waterhouse william menemukan  integer eksplisit aljabar dengan properti yang  penggantinya tanda dan disampaikan versi A-5 ke bagian masalah bulanan. Aku dimaksud dan kami menerima puluhan solusi yang benar; Waterhouse lihat (1985,1989)

Cara lain untuk menciptakan masalah Putnan adalah melalui metode Fowler. Gene Fowler pernah menjelaskan bahwa hal itu sangat mudah untuk ditulis. Semua kamu boleh duduk di depan mesin tik dan menatap selembar kertas kosong sampai keringat mulai keluar di dahimu. Saya sering menerapkan teknik ini di seminar dan kurang menarik dan kolokium, ketika tetangga saya mengira aku mencoret-coret. Saya mengambil kombinasi dari obyek matematika yang sederhana dan menatap mereka sampai aku bisa melihat soal Putnam. Kadang-kadang berhasil. Sebagai contoh, 1984 A-4 meminta kemungkinan luas maksimal segilima tertulis dalam unit lingkaran dengan properti yang dua yang berpotongan tegak lurus.

Berlawanan dengan pendapat umum, itu tidak membantu untuk membaca buku soal lama yang sangat banyak untuk inspirasi, karena plagiarisme adalah bahaya besar, dan penonton kami yang berjumlah besar sangat waspada. (Ini mungkin akan lebih berguna untuk melihat melalui bagian belakang buku, karena switch berdasarkan solusi yang kurang transparan.)

Jadi bagaimana Anda duduk dan membuat soal Putnam? Mari kita menerapkan aturan Polya dan generalisasi pertanyaan. Bagaimana Anda duduk dan menciptakan? Ini adalah pertanyaan yang sangat sulit dan pribadi. (Ini mungkin tidak memiliki jawaban; budaya romantis kita cenderung untuk mengidentifikasi hasil pemikiran algoritmik sebagai mekanik, bukan kreatif).

Pada akhirnya, Anda dapat melakukan segala sesuatu yang Anda bisa, mengandalkan sisa inspirasi komite , dan membayangkan dua ribu pikiran segar pada Sabtu pertama bulan desember, ingin ditantang)

RESUME

Makalah : Reznick

Mathematical Thinking and Problem Solving

BEBERAPA PEMIKIRAN PADA PENULISAN UNTUK PUTNAM

MATA KULIAH

MATEMATIKA SEKOLAH II

Dosen Pengampu :

Dr. SOMAKIM, M.Pd

Dr. Nila Kesumawati, M.Si

Oleh

SITI FATIMAH
ANIS TARIANI

PROGRAM PASCA SARJANA

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2011